李善蘭：清代數學家

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李善蘭（1811年1月22日 1882年12月9日），原名李心蘭，字竟芳，號秋紉，別號壬叔。浙江海寧人，是中國近代著名的數學、天文學、力學和植物學家，創立了二次平方根的冪級數展開式，研究各種三角函數，反三角函數和對數函數的冪級數展開式（現稱 自然數冪求和公式 ），這是李善蘭也是19世紀中國數學界最重大的成就。李善蘭出身于讀書世家，其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁（今河南開封）人李伯翼。伯翼一生讀書論道、不樂仕進。元初，其子李衍舉賢良方正，援朝請大夫嘉興路總管府同知，全家定居海寧縣硤石鎮。500年來，傳宗接代至17世孫，名叫李祖烈，號虛谷先生，治經學。祖烈初娶望?？h知縣許季溪的孫女為妻，不幸許氏早殤；繼娶妻妹填房，又病故。后續弦崔氏，系名儒崔景遠之女。崔氏生三子：心蘭（善蘭）、心梅、心葵，并一女。心梅亦通曉數學。李善蘭早年在家鄉娶妻許氏，無子；晚年在北京納妾米氏，仍未得子；乃過繼外甥崔敬昌為嗣。敬昌字吟梅，曾任江海關文牘。李善蘭自幼就讀于私塾，受到了良好的家庭教育。他資稟穎異，勤奮好學，于所讀之詩書，過目即能成誦。9歲時，李善蘭發現父親的書架上有一本中國古代數學名著 《九章算術》，感到十分新奇有趣，從此迷上了數學。14歲時，李善蘭又靠自學讀懂了歐幾里得《幾何原本》前六卷，這是明末徐光啟（1562 1633）、利瑪竇（M．Ricci，1522 1610）合譯的古希臘數學名著。歐氏幾何嚴密的邏輯體系，清晰的數學推理，與偏重實用解法和計算技巧的中國古代傳統數學思路迥異，自有它的特色和長處。李善蘭在《九章算術》的基礎上，又吸取了《幾何原本》的新思想，這使他的數學造詣日趨精深。幾年后，作為州縣的生員，李善蘭到省府杭州參加鄉試。因為他 于辭章訓詁之學，雖皆涉獵，然好之總不及算學，故于算學用心極深 （李善蘭《則古昔齋算學》自序），結果八股文章做得不好，落第。但他卻毫不介意，而是利用在杭州的機會，留意搜尋各種數學書籍，買回了李冶的《測圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》，仔細研讀，使他的數學水平有了更大提高。海鹽人吳兆圻《讀疇人書有感示李壬叔》詩中說： 眾流匯一壑，雅志說算術。

中西有派別，圓徑窮密率． 三統探漢法，余者難具悉．余方好茲學，心志窮專一。 許祥《硤川詩續鈔》注曰： 秋塍（吳兆圻）承思亭先生家學，于夕桀、重差之術尤精．同里李壬叔善蘭師事之。 看來，李善蘭曾拜吳兆圻為師，學習過數學。李善蘭在故里與蔣仁榮、崔德華等親朋好友組織 鴛湖吟社 ，常游 東山別墅 ，分韻唱和，其時曾利用相似勾股形對應邊成比例的原理測算過東山的高度。他的經學老師陳奐在《師友淵源記》中說他 孰習九數之術，常立表線，用長短式依節候以測日景，便易稽考 。余楙在《白岳詩話》中說他 夜嘗露坐山頂，以測象緯躊次 。至今李善蘭的家鄉還流傳著他在新婚之夜探頭于閣樓窗外觀測星宿的故事。1840年，鴉片戰爭爆發，帝國主義列強入侵中國的現實，激發了李善蘭科學救國的思想。他說： 嗚呼！今歐羅巴各國日益強盛，為中國邊患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算學明也。 異日（中國）人人習算，制器日精，以威海外各國，令震攝，奉朝貢． （李善蘭《重學》序）從此他在家鄉刻苦從事數學研究工作。1845年前后，李善蘭在嘉興陸費家設館授徒，得以與江浙一帶的學者（主要是數學家）顧觀光（1799 1862）、張文虎（1808 1885）、汪曰楨（1813 1881）等人相識，他們經常在一起討論數學問題。此間，李善蘭有關于 尖錐術 的著作《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》等問世。其后，又撰《四元解》、（麟德術解》等。1851年，李善蘭與著名數學家戴煦（1805 1860）相識．戴煦于1852年稱： 去歲獲交海昌壬叔李君， 緣出予未竟殘稿請正，而壬叔頗賞予余弧與切割二線互求之術，再四促成，今歲又寄扎詢及，遂謝絕繁冗，扃戶抄錄，閱月乃竟．嗟乎！友朋之助，曷可少哉？ （戴煦《外切密率》自序）李善蘭與友人在學術上相互切磋，取長補短，他與數學家羅士琳（1774 1853）、徐有壬（1800 1860）也 郵遞問難，常朝覆而夕又至 （崔敬昌《李壬叔征君傳》）。1852年夏，李善蘭到上海墨海書館，將自己的數學著作給來華的外國傳教士展閱、受到偉烈亞力（A．Wylie，1815 1887）等人的贊賞，從此開始了他與外國人合作翻譯西方科學著作的生涯。李善蘭與偉烈亞力翻譯的第一部書，是歐幾里得《幾何原本》后九卷．在譯《幾何原本》的同時，他又與艾約瑟（J．Edkins，1823 1905）合譯了《重學》20卷。其后，還與偉烈亞力合譯了《談天》18卷、《代數學》13卷、《代微積拾級》18卷，與韋廉臣（A．William－son，1829 1890）合譯了《植物學》8卷。以上幾種書均于1857至1859年間由上海墨海書館刊行。此外，他還與偉烈亞力、傅蘭雅（J．Fryer）合譯過《奈端數理》（即牛頓《自然哲學的數學原理》），可惜沒有譯完，未能刊行。1860年，李善蘭在江蘇巡撫徐有壬幕下作幕賓．太平軍占領蘇州后，他留在那兒的行篋，包括各種著作手稿，散失以盡．從此他 絕意時事 ，避亂上海，埋頭從事數學研究，重新著書立說。其間，他與數學家吳嘉善、劉彝程等人都有過學術上的交往。1861年秋，洋務派首領、兩江總督曾國藩（1811 1872）在安徽籌建安慶內軍械所，并邀著名化學家徐壽（1811 1884）、數學家華蘅芳（1833 1902）入幕。李善蘭也于1862年被 聘入戎幄，兼主書局 。他一到安慶，就拿出 印行無幾而板毀 于戰火的《幾何原本》等數學書籍請求曾國藩重印刊行，并推薦張文虎、張斯桂等人入幕。他們同住一處，經常進行學術討論，積極參與洋務新政中有關科學技術方面的活動。1864年夏，曾國藩攻陷太平天國首都天京（今南京），李善蘭等也跟著到了南京，他再次向曾國藩提出刻印他所譯所著的數學書籍，得到曾國藩的支持和資助，于是有1865年金陵刊本《幾何原本》15卷和1867年金陵刊本《則古昔齋算學》24卷問世．與此同時（1866），在南京開辦金陵機器局的李鴻章（1823 1901）也資助李善蘭重刻《重學》20卷并附《圓錐曲線說》3卷出版。

1866年，在北京的京師同文館內添設了天文算學館，廣東巡撫郭嵩燾（1817 1891）上疏舉薦李善蘭為天文算學總教習，但李善蘭忙于在南京出書，到1868年才北上就任。從此他完全轉向于數學教育和研究工作，直至1882年去世。其間所教授的學生 先后約百余人?？谥v指畫，十余年如一日。諸生以學有成效，或官外省，或使重洋 （崔敬昌《李壬叔征君傳》），知名者有席淦、貴榮、熊方柏、陳壽田、胡玉麟、李逢春等。晚年，獲得意門生江槐庭、蔡錫勇二人，即致函華蘅芳，稱 近日之事可喜者，無過于此，急欲告之閣下也 。這些人在傳播近代科學特別是數學知識方面都起過重要作用。李善蘭到同文館后，第二年（1869）即被 欽賜中書科中書 （從七品卿銜），1871年加內閣侍讀銜，1874年升戶部主事，加六品卿員外銜，1876年升員外郎（五品卿銜），1879年加四品卿銜，1882年授三品卿銜戶部正郎、廣東司行走、總理各國事務衙門章京。一時間，京師各 名公鉅卿，皆折節與之交，聲譽益噪 （蔣學堅《懷亭詩話》）。但他依然孜孜不倦從事同文館教學工作，并埋頭進行學術著述，1872年發表《考數根法》，1877年演算《代數難題》，1882年去世前幾個月， 猶手著《級數勾股》二卷，老而勤學如此 （崔敬昌《李壬叔征君傳》）。李善蘭在數學方面的研究成果主要見于其所著《則古昔齋算學》13種24卷和題為 《則古昔齋算學》十四 的《考數根法》。1867年刊行的《則古昔齋算學》收錄他20多年來的各種天算著作，計有《方圓闡幽》1卷（1845）、《弧矢啟秘》2卷（1845）、《對數探源》2卷（1845）、《垛積比類》4卷、《四元解》2卷（1845）、《麟德術解》3卷（1848）、《橢圓正術解》2卷、《橢圓新術》1卷、《橢圓拾遺》3卷、《火器真訣》1卷（1858）、《對數尖錐變法釋》1卷、《級數回求》1卷、《天算或問》1卷．《考數根法》則發表于1872年的《中西聞見錄》第二、三、四號上。李善蘭的其他數學著述還有《測圓海鏡解》、《測圓海鏡圖表》、《九容圖表》、《粟布演草》、《同文館算學課藝》和《同文館珠算金躊針》等多種。李善蘭的數學成就主要有尖錐術、垛積術、素數論三個方面。個人作品1840年著成《天算或問》一書，這是他最早的數學著作。1845年發表了《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》和《對數探源》。1846年發表了《四元解》2卷，并由顧觀光作序。1848年又自序發表了《麟德歷解》3卷。1852年，他到上海，與英國傳教士偉烈亞力等人合作，開始從事西方數學書籍的翻譯工作，間或也翻譯一些有關力學、天文學和其他學科的書籍。與英國人偉烈亞力合譯了《幾何原本》后9卷，于1856年完成。1856年后，他先后著有《橢圓正術解》2卷、《橢圓新術》1卷、《橢圓拾遺》3卷、《史器真決》1卷、《尖錐變法解》1卷、《級數四術》1卷、《垛積比類》4卷。1859年由墨海書館出版了他們合譯的《代數學》13卷、《代微積拾級》18卷、《談天》18卷。同時，他又與艾約瑟共譯《重學》20卷、《圓錐曲線說》3卷。期間，他還與偉烈亞力、傅蘭雅合譯了牛頓的名著《自然哲學的數學原理》若干卷。他的這些工作與隨后的華蘅芳、夏鸞翔等人對西方數學所作的有價值的研究，構成了繼徐光啟之后在中國的第二次西方數學的引進，對中國近代數學的發展起了積極的作用。他在譯作中創造了許多數學名詞和術語，如微分、函數等，都譯得相當貼切，相當多的名詞一直沿用至今。1860年起，他先后在徐有壬、曾國藩軍中作幕僚，與化學家徐壽、數學家華蘅芳等人一起，積極參與洋務運動中的科技學術活動。

教育事業1868年，李善蘭被薦任北京同文館天文算學總教習，直至1882年他逝世為止，從事數學教育十余年，其間審定了《同文館算學課藝》、《同文館珠算金躊針》等數學教材，培養了一大批數學人才，是中國近代數學教育的鼻祖。數學成就李善蘭在數學研究方面的成就，主要有尖錐術、垛積術和素數論三項。尖錐術理論主要見于《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》三種著作,成書年代約為1845年,當時解析幾何與微積分學尚未傳入中國。李善蘭創立的 尖錐 概念，是一種處理代數問題的幾何模型，他對 尖錐曲線 的描述實質上相當于給出了直線、拋物線、立方拋物線等方程他創造的 尖錐求積術 。相當于冪函數的定積分公式和逐項積分法則。他用 分離元數法 獨立地得出了二項平方根的冪級數展開式結合 尖錐求積術 ，得到了 的無窮級數表達式。各種三角函數和反三角函數的展開式，以及對數函數的展開式。在使用微積分方法處理數學問題方面取得了創造性的成就。垛積術理論主要見于《垛積比類》,寫于1859～1867年間，這是有關高階等差級數的著作。李善蘭從研究中國傳統的垛積問題入手，獲得了一些相當于現代組合數學中的成果。例如， 三角垛有積求高開方廉隅表 和 乘方垛各廉表 實質上就是組合數學中著名的第一種斯特林數和歐拉數。馳名中外的 李善蘭恒等式 。自20世紀30年代以來，受到國際數學界的普遍關注和贊賞。可以認為，《垛積比類》是早期組合論的杰作。

素數論主要見于《考數根法》，發表于1872年，這是中國素數論方面最早的著作。在判別一個自然數是否為素數時，李善蘭證明了著名的費馬素數定理，并指出了它的逆定理不真。李善蘭翻譯生涯1852-1859年，李善蘭在上海墨海書館與英國傳教士、漢學家偉烈亞力等人合作翻譯出版了《幾何原本》后九卷，以及《代數學》、《代微積拾級》、《談天》、《重學》、《圓錐曲線說》、《植物學》等西方近代科學著作，又譯《奈端數理》（即牛頓《自然哲學的數學原理》）四冊（未刊），這是解析幾何、微積分、哥白尼日心說、牛頓力學、近代植物學傳入中國的開端。李善蘭的翻譯工作是有獨創性的，他創譯了許多科學名詞，如 代數 、 函數 、 方程式 、 微分 、 積分 、 級數 、 植物 、 細胞 等,匠心獨運,切貼恰當，不僅在中國流傳,而且東渡日本,沿用至今。翻譯出版著作咸豐九年，《幾何原本》后七卷一起刊行于世，因戰爭，原版被毀﹐后又于同治五年由李鴻章重刊，光緒十四年上海六合書局又石印出版?！吨貙W》一書的翻譯出版較系統地把牛頓運動定律等經典力學知識介紹到中國。李善蘭又和偉烈亞力合譯了侯失勒（今譯J.赫歇耳）的《談天》一書，第一次把萬有引力定律及天體力學知識介紹到中國。不久，李善蘭又譯了奈端的《數理格致》（即牛頓的《自然哲學的數學原理》）一書的前3卷，后因故中斷。1867年他在南京出版《則古昔齋算學》，匯集了二十多年來在數學、天文學和彈道學等方面的著作，計有《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》、《垛積比類》、《四元解》、《麟德術解》、《橢圓正術解》、《橢圓新術》、《橢圓拾遺》、《火器真訣》、《對數尖錐變法釋》、《級數回求》和《天算或問》等13種24卷，共約15萬字。他的數學著作，除《則古昔齋算學》外,尚有《考數根法》、《粟布演草》、《測圓海鏡解》、《九容圖表》，而未刊行者，有《造整數勾股級數法》、《開方古義》、《群經算學考》、《代數難題解》等。人物影響在19世紀把西方近代物理學知識翻譯為中文的傳播工作中﹐李善蘭作出了重大貢獻。他的譯書也為中國近代物理學的發展起了啟蒙作用。同治七年，李善蘭到北京擔任同文館天文﹑算學部長﹐執教達13年之久﹐為造就中國近代第一代科學人才作出了貢獻。李善蘭為近代科學在中國的傳播和發展作出了開創性的貢獻。繼梅文鼎之后，李善蘭成為清代數學史上的又一杰出代表。他一生翻譯西方科技書籍甚多，將近代科學最主要的幾門知識從天文學到植物細胞學的最新成果介紹傳入中國，對促進近代科學的發展作出卓越貢獻。自20世紀30年代以來，李善蘭受到國際數學界的普遍關注和贊賞。